La ley de cancelación prueba que λa es inyectiva. Como el conjunto es finito,
tambien es epiyectiva. As´ı 1 pertenece a la imagen de λa y entonces existe
un elemento b tal que ab = 1. ✷
Existe un resultado, llamado teorema de Wedderburn, que afirma incluso
mas. Todo anillo con division, es necesariamente conmutativo. Por lo tanto
todo anillo integro y finito es un cuerpo. Este teorema no lo demostraremos
en estas notas.
Definicion 1.6 Si A es un anillo, un subconjunto B es un subanillo si con
las operaciones inducidas B posee estructura de anillo. Si 1 ∈ B diremos que
B es un subanillo con unidad.
Naturalmente todo subanillo es un anillo con las operaciones inducidas.
Proposicion 1.6 Un subconjunto B ⊂ A es un subanillo si y solo si a, b ∈ B
implica que a − b ∈ B y ab ∈ B.
Demostracion.
Si a − b pertenece a B entonces B es un subgrupo aditivo. Si ab tambien
pertenece, la operacion es cerrada y cumple la asociatividad, puesto que se
cumple para todos los elementos de A. ✷
Los subanillos pueden contener o no a la unidad. Tambien puede ocurrir
que un subanillo de un anillo no conmutativo, sea conmutativo.
Ejemplos
En todo anillo A, el conjunto A y el 0 son subanillos, llamados subanillos
triviales. Los dem´as subanillos se llaman propios.
Z es subanillo de Q, de R y de C.
Si X es un espacio topol´ogico, el conjunto C(X, R) de aplicaciones
continuas es un subanillo del conjunto Apli(X, R) de todas las funciones
de X en R.
Los multiplos nZ de un entero n forman un subanillo sin unidad de Z.
Sea A un anillo, posiblemente no conmutativo. Llamamos centro de A y
denotamos por Centro(A) al conjunto de elementos de A que conmutan
con todos los elementos del anillo
Centro(A) = {a ∈ A tales que ar = ra para todo r ∈ A}
El centro de un anillo es un subanillo. Ademas siempre es conmutativo.
*Información de liga: mimosa.pntic.mec.es
TAREA: Investigación de criterios de divisibilidad de los números primos.
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Aunque pueden buscar criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
Números divisibles por 2: 36,94,521342,40,...
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Números divisibles por 3: 36,2142,42,...
Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.
Números divisibles por 5: 35,2145,40,...
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Números divisibles por 9: 495,945,53640,...
Debemos hacer lo siguiente:
Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.
Múltiplos de 11: 2343649,9889,18161902,...
Criterio de divisibilidad por 2
Ejemplos:
Criterio de divisibilidad por 3
Ejemplos:
Criterio de divisibilidad por 5
Ejemplos:
Criterio de divisibilidad por 9
Ejemplos:
Criterio de divisibilidad por 11
Ejemplos:
Divisibilidad entre 2: un número es divisible entre dos si la cifra de las unidades simples es par (los números pares son aquéllos que son múltiplos de dos).
Divisibilidad entre 3: Un número es divisible entre tres si la suma de sus cifras es tres o un múltiplo de tres.
Divisibilidad entre 5: un número es divisible entre cinco si la cifra de las unidades simples es cinco o cero.
Divisibilidad entre 7: para saber si un número es divisible entre siete se duplican las unidades y el resultado se resta a las cifras restantes. Este paso se repite hasta que la diferencia esté formada por una o dos cifras; si éstas últimas son cero o múltiplos de siete, el número propuesto esdivisible entre siete.
el resultado se resta al número formado por las cifras sobrantes:
182 - 14 = 168
8 x 2 = 16
16 - 16 = 0
Los criterios de divisibilidad permiten reconocer más fácilmente a un número primo, así como también encontrar los divisores de los números compuestos.
*Investigación Internet números primos y divisibilidad
Tarea:Relación entre el orden y la divisibilidad
La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo provee una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un glosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre orden recoge los artículos que existen en relación a esta teoría del orden.
|
No hay comentarios.:
Publicar un comentario